МІНІСТЕРСТВО ОСТВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Інструкція до лабораторної роботи № 6 з курсу: "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" Затверджено на засіданні кафедри «Захист інформації» Протокол № __ від... Львів – 2007 Методи чисельного розв’язування диференціальних рівнянь: Інструкція до лабораторної роботи №6 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" / Укл.: Л.В.Мороз, З.М.Стрілецький, В.М.Іванюк - Львів: НУЛП, 2007.- 19 с. Укладачі: Леонід Васильович Мороз, к.т.н., доц. Зеновій Михайлович Стрілецький, к.т.н., доц. Віталій Миколайович Іванюк, асист. Відповідальний за випуск: І.Я. Тишик, ст.вик. Рецензенти: В.Б. Дудикевич, д.т.н., проф., В.В. Хома, д.т.н., проф. Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного інтегрування диференційних рівнянь. ВСТУП Диференціальним називається рівняння, в яке входять похідні невідомої функції. Приклад:

(1)
(2) Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР)
-го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні (або диференціал) до
-го порядку включно:
(3)
- незалежна змінна;
- невідома функція (залежна змінна);
- похідні цієї функції. Диференціальне рівняння
-го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
(4) Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної. Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші. Якщо ці значення задаються при
або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою. Значення залежної змінної та її похідних називаються ще додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними. Задача Коші Задача Коші формулюється так: Нехай задане ДР
(5) з початковими умовами
. Потрібно знайти функцію
, що задовольняє дане рівняння, та початкову умову. Для одержання чисельний розв’язку цієї задачі спочатку обчислюють значення похідної, а потім задаючи малий приріст
, переходять до нової точки
Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива
. Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної. Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші. Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій
потрібна інформація лише про попередній крок. (Однокроковими є метод Ейлера та методи Руте-Кутта.) Багатокрокові (або методи прогнозування та коригування). Для знаходження наступної точки кривої
вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок. До них належать методи Адамса, Мілна, Хеммінга. Це чисельні методи розв’язування ДР. Вони дають розв’язок у вигляді таблиці значень. Метод Ейлера Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду
(6) Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку. Точність його не велика.
- настільки мале, що значення функції
мало відрізняється від лінійної функції
- тангенс кута нахилу дотичної в точці


Тобто крива заміняється дотичними. Рух відбувається не по інтегральній кривій, а по відрізках дотичної . Метод Ейлера базується на ...